Natur, das Goldene Verhältnis und Fibonacci. So wie wir natürlich sieben Arme bekommen, wenn wir 0.142857 (17) verwenden, neigen wir dazu, Fibonacci-Zahlen zu erhalten, wenn wir das Goldene Verhältnis verwenden. Versuchen Sie, die Spiralarme zu zählen - die Dreieckspinale aus dem Dreieck, und dann die Dreieckspiralen. Welche Zahlen haben Sie Spiral-Blatt Wachstum Dieses interessante Verhalten ist nicht nur in Sonnenblumenkernen gefunden. Blätter, Äste und Blütenblätter können auch in Spiralen wachsen. Warum so, dass neue Blätter nicht blockieren die Sonne von älteren Blättern, oder so dass die maximale Menge an Regen oder Tau richtet sich an die Wurzeln gerichtet. In der Tat, wenn eine Pflanze Spiralen hat, tendiert die Rotation dazu, eine Fraktion zu sein, die mit zwei aufeinanderfolgenden (einer nach dem anderen) Fibonacci-Zahlen hergestellt wird, zum Beispiel: Eine halbe Drehung ist 12 (1 und 2 sind Fibonacci-Zahlen) 35 ist ebenfalls üblich (beide Fibonacci Numbers), und 58 auch (Sie ahnen es) alle immer näher und näher an die Goldene Ratio. Und das ist, warum Fibonacci Zahlen sind sehr häufig in Pflanzen. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. etc in einer erstaunlichen Anzahl von Orten auftreten. Hier ist ein Gänseblümchen mit 21 Blütenblättern (aber erwarten Sie ein paar mehr oder weniger, weil einige vielleicht gefallen haben oder nur wachsen) Aber wir sehen das nicht in allen Pflanzen, da die Natur viele verschiedene Methoden des Überlebens hat. Goldener Winkel Bisher haben wir über quotturnsquot (volle Umdrehungen) gesprochen. Das Äquivalent von 0,61803. Rotationen ist 222,4922. Grad, oder etwa 222,5 Grad. In der anderen Richtung ist es ungefähr 137.5deg. Genannt den Goldenen Winkel. So, das nächste Mal, wenn Sie im Garten spazieren gehen, suchen Sie nach dem Goldenen Winkel, und zählen Sie Blütenblätter und Blätter, um Fibonacci Zahlen zu finden und zu entdecken, wie klug die Pflanzen sind. Warum gehst du nicht in den Garten oder Park gerade jetzt und fange an, Blätter und Blütenblätter zu zählen und Rotationen zu messen, um zu sehen, was du findest. Sie können Ihre Ergebnisse auf diesem Formular schreiben: Name der Pflanze oder Beschreibung: Fibonacci Zahlen und Natur Diese Seite wurde in ZWEI TEILE aufgeteilt. Dies, die erste. Betrachtet die Fibonacci-Zahlen und warum sie erscheinen in verschiedenen Stammbäumen und Mustern von Spiralen von Blättern und Samen. Die zweite Seite untersucht dann, warum der goldene Abschnitt von der Natur in einigen Details, einschließlich Animationen von wachsenden Pflanzen verwendet wird. Inhalt dieser Seite Das Symbol bedeutet, dass es ein Sie tun die Mathematik. Fragen, um eigene Untersuchungen zu beginnen. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Kaninchen, Kühe und Bienen Stammbäume Schauen wir uns zuerst das Kaninchenpuzzle an, das Fibonacci schrieb, und dann an zwei Anpassungen davon, um es realistischer zu machen. Dies führt Sie zur Fibonacci-Zahl-Reihe und der einfachen Definition der ganzen nie endenden Reihe ein. Fibonaccis Kaninchen Das ursprüngliche Problem, das Fibonacci (im Jahr 1202) untersuchte, war, wie schnell Kaninchen unter idealen Bedingungen züchten konnten. Nehmen wir an, daß ein neugeborenes Kaninchenpaar, ein Männchen, ein Weibchen, auf ein Feld gestellt wird. Kaninchen können im Alter von einem Monat paaren, so dass am Ende des zweiten Monats ein Weibchen ein weiteres Paar Kaninchen produzieren kann. Nehmen wir an, daß unsere Kaninchen niemals sterben und daß das Weibchen jedes Monats ab dem zweiten Monat immer ein neues Paar (ein Männchen, ein Weibchen) produziert. Das Puzzle, das Fibonacci stellte, war. Wie viele Paare gibt es in einem Jahr Am Ende des ersten Monats, paaren sie, aber es gibt noch eine nur 1 Paar. Am Ende des zweiten Monats produziert das Weibchen ein neues Paar, so dass es jetzt zwei Paar Kaninchen auf dem Feld gibt. Am Ende des dritten Monats produziert die ursprüngliche Frau ein zweites Paar, so dass 3 Paare in allen auf dem Feld. Am Ende des vierten Monats hat die ursprüngliche Frau noch ein neues Paar produziert, das Weibchen, das vor zwei Monaten geboren wurde, produziert ihr erstes Paar auch, was 5 Paare macht. Die Anzahl der Kaninchenpaare im Feld zu Beginn eines jeden Monats ist 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Können Sie sehen, wie die Serie gebildet wird und wie es weitergeht? Bei der Antwort. Die ersten 300 Fibonacci Zahlen sind hier und einige Fragen für Sie zu beantworten. Nun können Sie sehen, warum dies ist die Antwort auf unsere Kaninchen Problem Wenn nicht, heres warum. Eine andere Ansicht des Rabbits Stammbaumes: Beide Diagramme oben repräsentieren die gleichen Informationen. Kaninchen wurden numeriert, um Vergleiche zu ermöglichen und sie zu zählen, wie folgt: Alle Kaninchen, die im selben Monat geboren werden, sind von der gleichen Generation und sind auf dem gleichen Niveau im Baum. Die Kaninchen sind eindeutig nummeriert, so dass in der gleichen Generation die neuen Kaninchen in der Reihenfolge ihrer Elternzahl nummeriert sind. So sind 5, 6 und 7 die Kinder von 0, 1 und 2. Die Kaninchen, die mit einer Fibonacci-Zahl gekennzeichnet sind, sind die Kinder des ursprünglichen Kaninchens (0) an der Spitze des Baumes. Es gibt eine Fibonacci Zahl der neuen Kaninchen in jeder Generation, markiert mit einem Punkt. Es gibt eine Fibonacci Zahl der Kaninchen insgesamt von der Spitze bis zu einer einzigen Generation. Es gibt viele andere interessante mathematische Eigenschaften dieses Baumes, die in späteren Seiten an dieser Stelle untersucht werden.1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Die Kaninchen Problem ist nicht sehr realistisch, ist es Es scheint zu implizieren, dass Bruder und Schwestern mate, die, genetisch, führt zu Problemen. Wir können das umgehen, indem wir sagen, dass das Weibchen jedes Paares mit jedem Mann zusammenpaßt und ein anderes Paar hervorbringt. Ein weiteres Problem, das wiederum nicht dem Leben entspricht, ist, dass jede Geburt genau zwei Kaninchen ist, einem Mann und einem Weibchen. Dudeneys Cows Die englische Puzzliste, Henry E Dudeney (1857 - 1930, ausgesprochen Dude-Knie) schrieb mehrere hervorragende Puzzlespiele (siehe nach diesem Abschnitt). In einem von ihnen passt er Fibonaccis-Kaninchen an Kühe an, was das Problem realistischer macht, wie wir oben gesehen haben. Er kümmert sich um die Probleme, indem er bemerkt, dass es wirklich nur die Weibchen sind, die interessant sind - er - ich meine die Zahl der Weibchen. Er ändert Monate in Jahre und Kaninchen zu Stieren (männlich) und Kühen (Weibchen) in Problem 175 in seinem Buch 536 Puzzles und Neugierige Probleme (1967, Souvenirpresse): Wenn eine Kuh im Alter von zwei Jahren ihr erstes Kälbchen produziert und danach jedes Jahr ein weiteres Einzelkalb hervorbringt, wie viele Kälber sind sie nach 12 Jahren da und nehmen keine an Dies ist eine bessere Vereinfachung des Problems und ziemlich realistisch jetzt. Aber Fibonacci tut, was Mathematiker oft zuerst tun, das Problem vereinfachen und sehen, was passiert - und die Reihe, die seinen Namen trägt, hat viele andere interessante und praktische Anwendungen, wie wir später sehen. So sehen wir uns eine andere Real-Life-Situation an, die genau durch die Fibonaccis-Serie - die Honigbienen modelliert ist. Puzzle Bücher von Henry E Dudeney Amusements in Mathematik. Dover Press, 1958, 250 Seiten. Noch im Druck dank Dover in einem sehr stabilen Taschenbuchformat zu einem unglaublich günstigen Preis. Dies ist eine wunderbare Sammlung, die ich finde ich oft tauchen in. Es gibt arithmetische Rätsel, geometrische Rätsel, Schachbrettpuzzles, ein ausgezeichnetes Kapitel über alle Arten von Labyrinthe und das Lösen von ihnen, magische Quadrate, Flussüberquerungspuzzles und vieles mehr, alle mit kompletten Lösungen und oft zusätzlichen Notizen. In hohem Grade empfohlene 536 Puzzlespiele und neugierige Probleme ist jetzt Aber Sie können eine zweite Hand-Version, indem Sie auf diesen Link abholen. Es ist eine andere Sammlung wie Amusements in Mathematics (oben), aber enthält verschiedene Rätsel in Abteilungen angeordnet: Arithmetische und Algebraische Rätsel, Geometrische Puzzles, Kombinatorische und Topologische Rätsel, Spielpuzzles, Domino Puzzles, Matchpuzzles und nicht klassifiziert Puzzles. Vollständige Lösungen und Index. Ein wahrer Schatz. Die Canterbury-Rätsel. Dover 2002, 256 Seiten. Mehr Puzzles (nicht in den vorherigen Büchern) der erste Abschnitt mit einigen Charakteren von Chaucers Canterbury Tales und anderen Abschnitten über die Mönche von Riddlewell, die squires Weihnachtsfeier, die Professoren Puzzles und so weiter und alle mit vollen Lösungen natürlich Honigbienen und Stammbäume Es gibt über 30.000 Arten von Bienen und in den meisten von ihnen leben die Bienen einsamen Leben. Die meisten von uns wissen am besten ist die Honigbiene und es, ungewöhnlich, lebt in einer Kolonie namens Bienenstock und sie haben einen ungewöhnlichen Stammbaum. In der Tat gibt es viele ungewöhnliche Merkmale von Honigbienen und in diesem Abschnitt werden wir zeigen, wie die Fibonacci-Zahlen zählen eine Honigbienen Vorfahren (in diesem Abschnitt eine Biene bedeutet eine Honigbiene). Erstens, einige ungewöhnliche Tatsachen über Honigbienen wie: nicht alle von ihnen haben zwei Eltern In einer Kolonie von Honigbienen gibt es eine spezielle Frau genannt die Königin. Es gibt viele Arbeiter-Bienen, die weiblich sind, aber im Gegensatz zu der Königin Biene, produzieren sie keine Eier. Es gibt einige Drohnenbienen, die männlich sind und keine Arbeit tun. Die Männchen werden von den Königinnen ungedüngt produziert, so dass männliche Bienen nur eine Mutter haben, aber keinen Vater Alle Frauen werden produziert, wenn die Königin mit einem Mann gepaart hat und so haben zwei Eltern. Weibchen normalerweise am Ende als Arbeiter Bienen, aber einige werden mit einer speziellen Substanz namens royal Gelee, die sie wachsen zu Königinnen bereit, loszugehen, um eine neue Kolonie zu starten, wenn die Bienen bilden ein Schwarm und verlassen ihre Heimat (ein Bienenstock) auf der Suche nach gefüttert werden Ein Ort, um ein neues Nest zu bauen. So haben weibliche Bienen 2 Eltern, ein Mann und ein Weibchen, während männliche Bienen nur ein Elternteil, ein Weibchen haben. Hier folgen wir der Konvention von Stammbäumen, die Eltern über ihren Kindern erscheinen. So dass die jüngsten Generationen sind am unteren Rand und je höher wir gehen, sind die älteren Menschen. Solche Bäume zeigen alle Vorfahren (Vorgänger, Vorfahren, Vorfahren) der Person am unteren Rand des Diagramms. Wir würden einen ganz anderen Baum bekommen, wenn wir alle Nachkommen (Nachkommenschaft, Nachkommen) einer Person aufgeführt haben, wie wir es beim Kaninchenproblem gemacht haben, wo wir alle Nachkommen des ursprünglichen Paares gezeigt haben. Betrachten wir den Stammbaum einer männlichen Drohnenbiene. Er hatte 1 Elternteil, eine Frau. Er hat 2 Großeltern, da seine Mutter zwei Eltern, einen Mann und eine Frau hatte. Er hat 3 Urgroßeltern: seine Großmutter hatte zwei Eltern, aber sein Großvater hatte nur einen. Wie viele Ur-Urgroßeltern hat er Noch einmal sehen wir die Fibonacci-Zahlen: Die Fibonacci-Sequenz, wie sie in der Natur von S. L.Basin in Fibonacci Quarterly erscheint. Bd. 1 (1963), Seiten 53 bis 57. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, Sie machen die Mathematik. Machen Sie ein Diagramm Ihres eigenen Stammbaums. Fragen Sie Ihre Eltern und Großeltern und älteren Verwandten, da jeder in der Lage, Ihnen über bestimmte Teile Ihres Stammbaums, die andere didnt wissen. Es kann ziemlich lustig sein zu sehen, wie weit zurück Sie gehen können. Wenn Sie sie alte Fotos von Verwandten auf eine große Tabelle Ihres Baumes setzen (oder Fotokopien der Fotos verwenden, wenn Ihre Verwandten die Originale behalten möchten). Wenn Sie mögen, schließen Sie das Jahr und den Ort der Geburt und Tod und auch die Daten der Ehen ein. Ein Bruder oder eine Schwester ist der Name für jemanden, der die gleichen Eltern hat wie Sie selbst. Was ist ein Halbbruder und Halbschwester Beschreiben Sie eine Cousine, aber verwenden Sie einfachere Wörter wie Bruder, Schwester, Elternteil, Kind. Machen Sie dasselbe für Neffe und Nichte. Was ist eine zweite Cousine. Was meinen wir mit einem Schwager, Schwägerin, Schwiegermutter usw. Groß - und groß - beziehen Sie sich auf Verwandte oder Ihre Eltern. So ist ein Großvater Vater eines Elternteils von Ihnen und Großtante oder Großtante ist der Name einer Tante Ihrer Eltern. Machen Sie ein Diagramm der Stammbaum-Namen, damit ich an der Unterseite ist und Mamma und Vati über Ihnen sind. Mark in Bruder, Schwester, Onkel, Neffe und so viele andere Namen von (Arten von) Verwandten, die Sie kennen. Es spielt keine Rolle, wenn Sie keine Brüder oder Schwestern oder Neffen haben, da das Diagramm soll die Beziehungen und ihre Namen zu zeigen. Wenn Sie einen Freund haben, der eine Fremdsprache spricht, fragen Sie sie, welche Wörter sie für diese Beziehungen verwenden. Was ist der Name für die Frau eines Elternbruders Benutzen Sie einen anderen Namen für die Schwester Ihrer Eltern Im Gesetz diese beiden manchmal unterschieden werden, weil man ein Blutsverwandter von Ihnen ist und der andere ist nicht nur ein Verwandter durch die Ehe. Was glauben Sie, ist das Blut relativ und welche die Beziehung, weil der Ehe Wie viele Eltern hat jeder so Wie viele Großeltern müssen Sie Räume für in Ihrem Stammbaum haben Jeder von ihnen hatte auch zwei Eltern, wie viele großartige - Großeltern von Ihnen werden es in Ihrem Baum geben. Und wie viele Ur-Urgroßeltern Was ist das Muster in dieser Serie von Zahlen Wenn Sie eine Generation zurück zu Ihren Eltern und zwei zu Ihren Großeltern gehen, wie viele Einträge wird es vor 5 Generationen in Ihrem Baum geben und wie viele 10 Generationen agoThe Stammbaum der Menschen beinhaltet eine andere Sequenz zu den Fibonacci-Zahlen. Was ist diese Sequenz namens Schauen auf Ihre Antworten auf die vorherige Frage, sagt Ihr Freund Dee Duckshun zu Ihnen: Sie haben 2 Eltern. Sie haben jeweils zwei Eltern, so dass 4 Großeltern Sie haben. Sie hatten auch zwei Eltern, die jeweils 8 Urgroßeltern machten. . Und 16 Ur-Ur-Ur-Eltern. . und so weiter. So, je weiter hinten Sie in Ihrem Stammbaum sind, desto mehr Menschen gibt es. Es ist das gleiche für den Stammbaum von allen Lebendigen in der heutigen Welt. Es zeigt, dass, je weiter wir zurückkehren, desto mehr Menschen müssen es gewesen sein. So ist es eine logische Deduktion, dass die Bevölkerung der Welt muss immer kleiner und kleiner werden, wie die Zeit geht weiter Gibt es einen Fehler in Dees Argument Wenn ja, was ist es Fragen Sie Ihren Mathematiklehrer oder ein Elternteil, wenn Sie nicht sicher sind, der Antwort 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Fibonacci-Zahlen und das Goldene Verhältnis Wenn wir das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen in der Fibonaccis-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13) nehmen und wir jedes durch die Zahl davor teilen, werden wir folgendes finden Reihe von Zahlen: Es ist leichter zu sehen, was passiert, wenn wir die Verhältnisse auf einem Diagramm zu zeichnen: Das Verhältnis scheint sich auf einen bestimmten Wert, die wir das goldene Verhältnis oder die goldene Zahl nennen. Es hat einen Wert von etwa 1183618034. Obwohl wir auf einer späteren Seite einen noch genaueren Wert finden werden, wird dieser Link ein neues Fenster öffnen. Sie machen die Mathematik. Was passiert, wenn wir die Verhältnisse umgekehrt nehmen, dh wir teilen jede Zahl durch die folgende auf: 11, 12, 23, 35, 58, 813. Verwenden Sie Ihren Taschenrechner und vielleicht einen Graphen dieser Verhältnisse und sehen Sie, wenn etwas Ähnliches Geschieht im Vergleich zu dem obigen Diagramm. Sie haben eine fundamentale Eigenschaft dieses Verhältnisses entdeckt, wenn Sie den Grenzwert der neuen Reihe 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 finden , 987. Mehr. Das Goldene Verhältnis 1183618034 wird auch Goldener Schnitt oder Goldener Mittelwert oder nur die Goldene Zahl genannt. Es wird oft durch einen griechischen Buchstaben Phi dargestellt. Der eng verwandte Wert, den wir als phi mit einem kleinen p schreiben, ist nur der Dezimalteil von Phi, nämlich 0183618034. Fibonacci-Rechtecke und Shell-Spiralen Wir können ein anderes Bild mit den Fibonacci-Zahlen 1,1,2,3,5,8, 13,21. Wenn wir mit zwei kleinen Quadraten der Größe 1 nebeneinander beginnen. Auf der Oberseite von beiden zeichnen Sie ein Quadrat der Größe 2 (11). Wir können nun einen neuen Platz zeichnen, der sowohl ein Einheitsquadrat als auch das letzte Quadrat der Seite 2 berührt, so dass die Seiten 3 Einheiten lang sind und dann ein zweites, das sowohl das 2-Quadrat als auch das 3-Quadrat (das 5 Seiten hat) berührt wird. Wir können weiterhin das Hinzufügen von Quadraten um das Bild, wobei jedes neue Quadrat eine Seite hat, die so lang ist wie die Summe der letzten zwei Quadratseiten. Dieser Satz von Rechtecken, deren Seiten sind zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen in der Länge und die aus Quadraten mit Seiten, die Fibonacci-Zahlen sind, werden wir die Fibonacci-Rechtecke aufrufen. Hier ist eine Spirale in den Quadraten gezeichnet, ein Viertel eines Kreises in jedem Platz. Die Spirale ist keine echte mathematische Spirale (da sie aus Fragmenten besteht, die Teil von Kreisen sind und nicht immer kleiner werden), sondern eine gute Annäherung an eine Art von Spirale, die in der Natur häufig vorkommt. Solche Spiralen sind in Form von Muscheln von Schnecken und Muscheln und, wie wir später sehen, in der Anordnung der Samen auf blühende Pflanzen zu sehen. Die Spiral-in-der-Quadrate macht eine Linie von der Mitte der Spirale um einen Faktor der goldenen Zahl in jedem Quadrat. So Punkte auf der Spirale sind 1.618 Mal so weit vom Zentrum nach einer Vierteldrehung. In einer ganzen Umdrehung sind die Punkte auf einem Radius aus der Mitte 1.6184 6.854 mal weiter heraus als wenn die Kurve zuletzt die gleiche Radiallinie überschritten hat. Cundy und Rollett (Mathematische Modelle, zweite Auflage 1961, Seite 70) sagen, dass diese Spirale in Schneckenschalen und Blumenköpfen vorkommt, die sich auf DArcy Thompsons auf Wachstum und Form beziehen, was vermutlich in Kapitel 6 Die Equiangular Spirale heißt. Hier spricht Thompson über eine Klasse von Spiralen mit einem konstanten Expansionsfaktor entlang einer Mittellinie und nicht nur von Muscheln mit einem Phi-Expansionsfaktor. Unten sind Bilder von Querschnitten einer Nautilus-Muschel. Sie zeigen die spiralförmige Krümmung der Schale und der inneren Kammern, die das Tier, das es verwendet, beim Wachstum erhöht. Die Kammern sorgen für Auftrieb im Wasser. Klicken Sie auf das Bild, um es in einem neuen Fenster zu vergrößern. Zeichnen Sie eine Linie aus dem Zentrum in jede Richtung und finden Sie zwei Orte, wo die Schale kreuzt es, so dass die Shell-Spirale nur einmal zwischen ihnen gegangen ist. Der äußere Kreuzungspunkt ist etwa 1,6 mal so weit vom Zentrum entfernt wie der nächste innere Punkt auf der Linie, wo die Schale kreuzt. Dies zeigt, dass die Schale um einen Faktor des Goldenen Verhältnisses in einer Windung gewachsen ist. Bei dem hier gezeigten Poster variiert dieser Faktor von 1,6 bis 1,9 und kann darauf zurückzuführen sein, dass die Schale nicht genau entlang einer Mittelebene geschnitten wird, um den Querschnitt zu erzeugen. Mehrere Organisationen und Firmen haben ein Logo, das auf diesem Entwurf basiert, unter Verwendung der Spirale der Fibonacci Quadrate und irgendwann mit der Nautilus Schale überlagert. Es ist falsch zu sagen, das ist eine Phi-Spirale. Erstens ist die Spirale nur eine Annäherung, da sie aus getrennten und eindeutigen Viertelkreisen besteht, zweitens erhöht sich die (wahre) Spirale um einen Faktor Phi jede Vierteldrehung, so dass es richtiger ist, sie eine Phi 4 - Spirale zu nennen. Klicken Sie auf die Logos, um mehr über die Organisationen zu erfahren. Everest Community College Basingstoke Hier sind einige weitere wunderbare Bilder von All Poster (die Sie für Ihr Klassenzimmer oder Wand zu Hause kaufen können). Klicken Sie auf jedes, um es in einem neuen Fenster zu vergrößern. Das gleiche passiert in vielen Samen und Blütenköpfen in der Natur. Der Grund scheint, dass diese Anordnung eine optimale Packung der Samen bildet, so dass, egal wie groß der Samenkopf ist, sie zu jeder Zeit gleichmäßig verpackt sind, wobei alle Samen die gleiche Größe haben, keine Verdrängung in der Mitte und nicht auch Spärlich an den Rändern. Die Spiralen sind Muster, die das Auge sieht, kurvige Spiralen erscheinen in der Nähe des Zentrums, flachere Spiralen (und mehr von ihnen) erscheinen, desto weiter wir gehen. So ist die Anzahl der Spiralen, die wir in beiden Richtungen sehen, für größere Blütenköpfe anders als für kleine. Auf einem großen Blütenkopf sehen wir mehr Spiralen weiter als in der Nähe des Zentrums. Die Zahlen der Spiralen in jeder Richtung sind (fast immer) benachbarte Fibonacci-Zahlen Klicken Sie auf diese Links für einige weitere Diagramme von 500. 1000 und 5000 Samen. Klicken Sie auf das Bild auf der rechten Seite für eine Quicktime Animation von 120 Samen aus einer einzigen zentralen Wachstumspunkte. Jeder neue Samen ist nur phi (0183618) einer Wende vom letzten (oder äquivalent gibt es Phi (1183618) Samen pro Zug). Die Animation zeigt, dass, egal wie groß der Samenkopf bekommt, die Samen immer gleich beabstandet sind. Auf allen Stufen sind die Fibonacci Spiralen zu sehen. Das gleiche Muster, das durch diese Punkte (Samen) gezeigt wird, wird verfolgt, wenn sich die Punkte dann zu Blättern oder Zweigen oder Blütenblättern entwickeln. Jeder Punkt bewegt sich direkt aus dem zentralen Stamm in einer geraden Linie. Dieses Verfahren modelliert, was in der Natur geschieht, wenn die wachsende Spitze Samen spiralförmig erzeugt. Der einzige aktive Bereich ist die wachsende Spitze - die Samen werden erst größer, wenn sie erschienen sind. Diese Animation wurde von Maple produziert. Wenn es N Samen in einem Rahmen gibt, dann erscheint der neueste Samen am nächsten Punkt des zentralen Punktes, bei 0183618 einer Umdrehung von dem Winkel, an dem das letzte erschien. Ein Samen, der i-Frames alt ist, behält seinen ursprünglichen Winkel von dem exakten Zentrum, wird aber zu einem Abstand bewegt, der die Quadratwurzel von i ist. Phyllotaxis. Eine systemische Studie in der Pflanzenmorphogenese von Roger V. Jean (400 Seiten, Cambridge University Press, 1994) hat ein gutes Beispiel auf der Titelseite - klicken Sie auf den Titel des Titels oder das kleine Bild von der Titelseite Klicken Sie auf der Seite, die sich öffnet, auf das Bild der vorderen Abdeckung, um es zu sehen. Es zeigt deutlich, dass die Spiralen, die das Auge sieht, in der Nähe des Zentrums auf einem echten Sonnenblumensamenkopf verschieden sind, wobei alle Samen dieselbe Größe haben. Smith College (Northampton, Massachusetts, USA) hat eine ausgezeichnete Website. Eine interaktive Seite für die mathematische Untersuchung der Pflanzenmusterbildung, die einen Besuch wert ist. Es hat auch eine Seite von Links zu mehr Ressourcen. Beachten Sie, dass Sie nicht immer die Fibonacci Zahlen in der Anzahl der Blütenblätter oder Spiralen auf Saatköpfe etc. finden, obwohl sie oft in der Nähe der Fibonacci Zahlen kommen. Sie machen die Mathematik. Warum nicht wachsen Sie Ihre eigene Sonnenblume aus Samen. Ich war überrascht, wie einfach sie sind, zu wachsen, als der oben abgebildete gerade in einer Schüssel der Birnen auf meinem Patio zu Hause im Norden von England erschien. Vielleicht kam es von einem Vogel-Saatgut-Mix, den ich im vergangenen Jahr ausgestellt habe. Vogel-Samen-Mix hat oft Sonnenblumensamen darin, so dass man ein paar aussuchen und in einen Topf geben kann. Aussaat zwischen April und Juni und halten sie warm. Alternativ gibt es jetzt eine blendende Reihe von Farben und Formen von Sonnenblumen zu versuchen. Eine gute Quelle für Ihre Samen ist: Nickys Seeds, die die gesamte Palette von Blumen-und Gemüsesamen einschließlich Sonnenblumenkerne in Großbritannien liefert. Werfen Sie einen Blick auf den Online-Katalog bei Nickys Seeds, wo es viele Bilder von jeder der Blumen. Welche Pflanzen zeigen Fibonacci Spiralen auf ihren Blüten Können Sie ein Beispiel von Blüten mit 5, 8, 13 oder 21 Blütenblättern finden? Gibt es Blüten mit anderen Zahlen von Blütenblättern, die nicht Fibonacci Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Tannenzapfen Tannenzapfen zeigen die Fibonacci Spiralen deutlich. Hier ist ein Bild von einem gewöhnlichen Tannenzapfen von seiner Basis, wo der Stiel verbindet sie mit dem Baum. Kannst du die beiden Sätze von Spiralen sehen Wie viele gibt es in jedem Satz Hier ist ein weiterer Tannenzapfen. Es ist nicht nur kleiner, sondern hat eine andere Spiralanordnung. Verwenden Sie die Tasten, um die Anzahl der Spiralen in jeder Richtung auf diesem Tannenzapfen zu zählen. Das Muster fährt mit Fibonacci-Zahlen in jeder Spalte fort Blattanordnungen von einigen gemeinsamen Pflanzen Eine Schätzung ist, dass 90 Prozent aller Pflanzen dieses Muster von Blättern zeigen, an denen die Fibonacci-Zahlen beteiligt sind. Einige gemeinsame Bäume mit ihren Fibonacci Blatt Anordnung Zahlen sind: 12 Ulmen, Linden, Kalk, Gräser 13 Buche, Haselnuss, Gräser, Brombeere 25 Eiche, Kirsche, Apfel, Stechpalme, Pflaume, gemeinsame Grütze 38 Pappel, Rose, Birne, Weide 513 Pussy Weide, Mandel, wobei tn bedeutet jedes Blatt ist tn einer Wende nach dem letzten Blatt oder dass es gibt t Wende für n Blätter. Cactuss-Stacheln zeigen oft dieselben Spiralen, wie wir sie bereits bei Tannenzapfen, Blütenblättern und Blattanordnungen gesehen haben, sind aber deutlich sichtbarer. Charles Dills hat festgestellt, dass die Fibonacci-Zahlen in Bromeliads auftreten und seine Homepage hat Links zu vielen Bildern. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Gemüse und Obst Hier ist ein Bild von einem gewöhnlichen Blumenkohl. Beachten Sie, wie es fast ein Fünfeck im Umriss ist. Wenn Sie sorgfältig schauen, können Sie einen Mittelpunkt sehen, wo die Blüten am kleinsten sind. Schauen Sie wieder, und Sie werden sehen, dass die Blüten in Spiralen um dieses Zentrum in beide Richtungen organisiert sind. Wie viele Spiralen gibt es in jeder Richtung? Diese Knöpfe zeigen die Spiralen deutlicher für Sie zu zählen (Linien werden zwischen den Blüten gezogen): Der romanische Brokkoli Blumenkohl (oder Romanesco) sieht und schmeckt wie eine Kreuzung zwischen Brokkoli und Blumenkohl. Jeder Blütenblätter ist gipfelig und ist eine identische, aber kleinere Version des Ganzen und das macht die Spiralen leicht zu sehen. Wie viele Spiralen gibt es in jeder Richtung? Diese Knöpfe zeigen die Spiralen deutlicher für Sie zu zählen (Linien werden zwischen den Blüten gezogen): Hier sind einige Untersuchungen, um die Fibonacci Zahlen für sich selbst in Gemüse und Obst zu entdecken. Sie machen die Mathematik. Werfen Sie einen Blick auf einen Blumenkohl das nächste Mal, wenn Sie eine Vorbereitung: Erstens Blick auf sie: Zählen Sie die Anzahl der Blüten in den Spiralen auf Ihrem Blumenkohl. Die Zahl in einer Richtung und in der anderen wird Fibonacci Zahlen, wie wir hier gesehen haben. Erhalten Sie die gleichen Zahlen wie in der Abbildung Nehmen Sie einen genaueren Blick an einem einzelnen Blümchen (brechen Sie ein weg nahe der Unterseite Ihres Blumenkohls). Es ist ein Mini-Blumenkohl mit seinen eigenen kleinen Blüten alle in Spiralen um ein Zentrum angeordnet. Wenn Sie können, zählen die Spiralen in beide Richtungen. Wie viele sind da Dann, wenn Sie die Blüten abschneiden, versuchen Sie dies: Start an der Unterseite und entfernen Sie die größte Blüte, schneiden sie parallel zum Hauptstamm. Finden Sie die nächste auf bis der Stamm. Es ist ungefähr 0183618 einer Umdrehung (in einer Richtung). Schneiden Sie es auf die gleiche Weise. Wiederholen, so weit du willst und. Jetzt schauen Sie auf den Stamm. Wo die Blüten sind eher wie ein Tannenzapfen oder Ananas. Die Blüten waren in Spiralen auf dem Stamm angeordnet. Zählen sie wieder zeigt die Fibonacci-Zahlen. Versuchen Sie die gleiche Sache für Brokkoli. Chinesische Blätter und Salat sind ähnlich, aber es gibt keinen richtigen Stamm für die Blätter. Stattdessen werden die Blätter vorsichtig von den äußersten zuerst entfernt, wobei bemerkt wird, dass sie sich überschneiden, und es gibt normalerweise nur eine, die die äußerste jedes Mal ist. Sie sollten in der Lage, einige Fibonacci-Nummer Verbindungen finden. Suchen Sie die Fibonacci Zahlen in Obst. Was ist mit einer Banane. Zählen Sie, wie viele flache Flächen es ist aus - ist es 3 oder vielleicht 5 Wenn Sie es geschält, schneiden Sie es in die Hälfte (als ob brechen sie in der Hälfte, nicht in der Längsrichtung) und wieder sehen. Überraschung Theres eine Fibonacci Zahl. Was ist mit einem Apfel. Anstatt ihn von dem Stiel zu dem gegenüberliegenden Ende (wo die Blume war) zu schneiden, d. h. von Nordpol zu Südpol, schneide es entlang des Äquators. Überraschung theres Ihre Fibonacci Zahl Versuchen Sie eine Sharon Frucht. Wo finden Sie die Fibonacci Zahlen in Obst und Gemüse Warum nicht mailen Sie mich mit Ihren Ergebnissen und die besten werden auf das Web hier (oder mit Ihrer eigenen Webseite verbunden). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Fibonacci Finger Schauen Sie auf Ihre eigene Hand: Sie haben. 2 Hände, von denen jeder hat. 5 Fingern, von denen jeder hat. 3 Teile getrennt durch. 2 knuckles Ist das nur ein Zufall oder nicht. Allerdings, wenn Sie die Längen der Knochen in den Finger (am besten durch leichtes Biegen des Fingers) zu messen, sieht es aus, als ob das Verhältnis der längste Knochen in einem Finger zum Mittelknochen Phi Was ist mit dem Verhältnis des mittleren Knochens Auf den kürzesten Knochen (am Ende des Fingers) - Phi wieder Können Sie finden, alle Verhältnisse in den Längen der Finger, die wie Phi aussieht - oder sieht es aus, als ob es könnte jede andere ähnliche Verhältnis auch Warum nicht messen Ihre Freunde Hände und sammeln einige Statistiken HINWEIS: Wenn diese Seite wurde zuerst erstellt (zurück 1996) war dies als Witz gemeint und als etwas zu untersuchen, um zu zeigen, dass Phi, ein präzises Verhältnis von 1,6180339. Ist nicht die Antwort auf das Leben Das Universum und alles - da wir alle wissen, die Antwort darauf ist 42. Die Idee der Länge der Fingerteile, die in phi-Verhältnissen war, wurde 1973 gestellt, aber zwei spätere Artikel, die diese beiden untersuchen, zeigen dies falsch. Obwohl die Fibonacci-Zahlen im Titel eines Artikels im Jahr 2003 erwähnt werden, handelt es sich eigentlich um die goldenen Schnittverhältnisse von Knochenlängen in der menschlichen Hand, die zeigen, dass bei 100 Hand-Röntgenstrahlen nur 1 in 12 vernünftigerweise golden sein könnte Knochen-Längenverhältnissen. Die Forschung von zwei britischen Ärzten im Jahr 2002 betrachtet die Länge der Finger von ihren Rotationspunkten in fast 200 Händen und findet auch nicht mehr heraus, phi zu finden (die tatsächlichen Verhältnisse waren 1: 1 oder 1: 1,3). Über die Anpassungsfähigkeit von mans hand J W Littler, The Hand, Band 5 (1973), S. 187-191. Die Fibonacci-Sequenz: Beziehung zur menschlichen Hand Andrew E Park, John J. Fernandez, Karl Schmedders und Mark S. Cohen, Journal of Hand Surgery, Band 28 (2003), Seiten 157-160. Röntgenuntersuchung der relativen Längen der Knochen der Finger der menschlichen Hand durch R. Hamilton und RA Dunsmuir Journal of Hand Surgery, Band 27B (British and European Volume, 2002) Seiten 546-548 mit Dank an Gregory OGrady aus Neuseeland für Diese Hinweise und die Informationen in dieser Anmerkung. Ähnlich, wenn Sie die Zahlen 1, 2, 3 und 5 irgendwo vorkommen, bedeutet es nicht immer, dass die Fibonacci-Zahlen dort sind (obwohl sie sein könnten). Richard Guys ausgezeichnete und lesbare Artikel, wie und warum Menschen falsche Schlussfolgerungen aus unzureichenden Daten ziehen ist auch einen Blick wert: Das starke Gesetz der kleinen Zahlen Richard K Guy in der amerikanischen mathematischen monatlich. Vol. 95, 1988, Seiten 697 & ndash; 712. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Immer Fibonacci Aber sind es immer die Fibonacci-Zahlen, die in Pflanzen, die ich erinnere mich als Kind in einem Feld von Klee für den schwer fassbaren 4-Leaved Klee - und der Suche nach einem finden. Fibonacci Zahlen und Natur Diese Seite wurde in zwei Teile aufgeteilt. Dies, die erste. Betrachtet die Fibonacci-Zahlen und warum sie erscheinen in verschiedenen Stammbäumen und Mustern von Spiralen von Blättern und Samen. Die zweite Seite untersucht dann, warum der goldene Abschnitt von der Natur in einigen Details, einschließlich Animationen von wachsenden Pflanzen verwendet wird. Inhalt dieser Seite Das Symbol bedeutet, dass es ein Sie tun die Mathematik. Fragen, um eigene Untersuchungen zu beginnen. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mehr. Kaninchen, Kühe und Bienen Stammbäume Schauen wir uns zuerst das Kaninchenpuzzle an, das Fibonacci schrieb, und dann an zwei Anpassungen davon, um es realistischer zu machen. Dies führt Sie zur Fibonacci-Zahl-Reihe und der einfachen Definition der ganzen nie endenden Reihe ein. Fibonaccis Kaninchen Das ursprüngliche Problem, das Fibonacci (im Jahr 1202) untersuchte, war, wie schnell Kaninchen unter idealen Bedingungen züchten konnten. Nehmen wir an, daß ein neugeborenes Kaninchenpaar, ein Männchen, ein Weibchen, auf ein Feld gestellt wird. Kaninchen können im Alter von einem Monat paaren, so dass am Ende des zweiten Monats ein Weibchen ein weiteres Paar Kaninchen produzieren kann. Nehmen wir an, daß unsere Kaninchen niemals sterben und daß das Weibchen jedes Monats ab dem zweiten Monat immer ein neues Paar (ein Männchen, ein Weibchen) produziert. Das Puzzle, das Fibonacci stellte, war. Wie viele Paare gibt es in einem Jahr Am Ende des ersten Monats, paaren sie, aber es gibt noch eine nur 1 Paar. Am Ende des zweiten Monats produziert das Weibchen ein neues Paar, so dass es jetzt zwei Paar Kaninchen auf dem Feld gibt. Am Ende des dritten Monats produziert die ursprüngliche Frau ein zweites Paar, so dass 3 Paare in allen auf dem Feld. Am Ende des vierten Monats hat die ursprüngliche Frau noch ein neues Paar produziert, das Weibchen, das vor zwei Monaten geboren wurde, produziert ihr erstes Paar auch, das 5 Paare bildet. The number of pairs of rabbits in the field at the start of each month is 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Can you see how the series is formed and how it continues If not, look at the answer. The first 300 Fibonacci numbers are here and some questions for you to answer. Now can you see why this is the answer to our Rabbits problem If not, heres why. Another view of the Rabbits Family Tree: Both diagrams above represent the same information. Rabbits have been numbered to enable comparisons and to count them, as follows: All the rabbits born in the same month are of the same generation and are on the same level in the tree. The rabbits have been uniquely numbered so that in the same generation the new rabbits are numbered in the order of their parents number. Thus 5, 6 and 7 are the children of 0, 1 and 2 respectively. The rabbits labelled with a Fibonacci number are the children of the original rabbit (0) at the top of the tree. There are a Fibonacci number of new rabbits in each generation, marked with a dot. There are a Fibonacci number of rabbits in total from the top down to any single generation. There are many other interesting mathematical properties of this tree that are explored in later pages at this site.0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. The Rabbits problem is not very realistic, is it It seems to imply that brother and sisters mate, which, genetically, leads to problems. We can get round this by saying that the female of each pair mates with any male and produces another pair. Another problem which again is not true to life, is that each birth is of exactly two rabbits, one male and one female. Dudeneys Cows The English puzzlist, Henry E Dudeney (1857 - 1930, pronounced Dude-knee ) wrote several excellent books of puzzles (see after this section). In one of them he adapts Fibonaccis Rabbits to cows, making the problem more realistic in the way we observed above. He gets round the problems by noticing that really, it is only the females that are interesting - er - I mean the number of females He changes months into years and rabbits into bulls (male) and cows (females) in problem 175 in his book 536 puzzles and Curious Problems (1967, Souvenir press): If a cow produces its first she-calf at age two years and after that produces another single she-calf every year, how many she-calves are there after 12 years, assuming none die This is a better simplification of the problem and quite realistic now. But Fibonacci does what mathematicians often do at first, simplify the problem and see what happens - and the series bearing his name does have lots of other interesting and practical applications as we see later. So lets look at another real-life situation that is exactly modelled by Fibonaccis series - honeybees. Puzzle books by Henry E Dudeney Amusements in Mathematics. Dover Press, 1958, 250 pages. Still in print thanks to Dover in a very sturdy paperback format at an incredibly inexpensive price. This is a wonderful collection that I find I often dip into. There are arithmetic puzzles, geometric puzzles, chessboard puzzles, an excellent chapter on all kinds of mazes and solving them, magic squares, river crossing puzzles, and more, all with full solutions and often extra notes Highly recommended 536 Puzzles and Curious Problems is now out of print, but you may be able to pick up a second hand version by clicking on this link. It is another collection like Amusements in Mathematics (above) but containing different puzzles arranged in sections: Arithmetical and Algebraic puzzles, Geometrical puzzles, Combinatorial and Topological puzzles, Game puzzles, Domino puzzles, match puzzles and unclassified puzzles. Full solutions and index. A real treasure. The Canterbury Puzzles. Dover 2002, 256 pages. More puzzles (not in the previous books) the first section with some characters from Chaucers Canterbury Tales and other sections on the Monks of Riddlewell, the squires Christmas party, the Professors puzzles and so on and all with full solutions of course Honeybees and Family trees There are over 30,000 species of bees and in most of them the bees live solitary lives. The one most of us know best is the honeybee and it, unusually, lives in a colony called a hive and they have an unusual Family Tree. In fact, there are many unusual features of honeybees and in this section we will show how the Fibonacci numbers count a honeybees ancestors (in this section a bee will mean a honeybee). First, some unusual facts about honeybees such as: not all of them have two parents In a colony of honeybees there is one special female called the queen . There are many worker bees who are female too but unlike the queen bee, they produce no eggs. There are some drone bees who are male and do no work. Males are produced by the queens unfertilised eggs, so male bees only have a mother but no father All the females are produced when the queen has mated with a male and so have two parents. Females usually end up as worker bees but some are fed with a special substance called royal jelly which makes them grow into queens ready to go off to start a new colony when the bees form a swarm and leave their home (a hive ) in search of a place to build a new nest. So female bees have 2 parents, a male and a female whereas male bees have just one parent, a female. Here we follow the convention of Family Trees that parents appear above their children . so the latest generations are at the bottom and the higher up we go, the older people are. Such trees show all the ancestors (predecessors, forebears, antecedents) of the person at the bottom of the diagram. We would get quite a different tree if we listed all the descendants (progeny, offspring) of a person as we did in the rabbit problem, where we showed all the descendants of the original pair. Lets look at the family tree of a male drone bee. He had 1 parent, a female. He has 2 grand-parents, since his mother had two parents, a male and a female. He has 3 great-grand-parents: his grand-mother had two parents but his grand-father had only one. How many great-great-grand parents did he have Again we see the Fibonacci numbers : The Fibonacci Sequence as it appears in Nature by S. L.Basin in Fibonacci Quarterly . vol 1 (1963), pages 53 - 57. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. You do the maths. Make a diagram of your own family tree. Ask your parents and grandparents and older relatives as each will be able to tell you about particular parts of your family tree that others didnt know. It can be quite fun trying to see how far back you can go. If you have them put old photographs of relatives on a big chart of your Tree (or use photocopies of the photographs if your relatives want to keep the originals). If you like, include the year and place of birth and death and also the dates of any marriages. A brother or sister is the name for someone who has the same two parents as yourself. What is a half-brother and half-sister Describe a cousin but use simpler words such as brother, sister, parent, child . Do the same for nephew and niece . What is a second cousin . What do we mean by a brother-in-law, sister-in-law, mother-in-law, etc . Grand - and great - refer to relatives or your parents . Thus a grand-father is a father of a parent of yours and great-aunt or grand-aunt is the name given to an aunt of your parents. Make a diagram of Family Tree Names so that Me is at the bottom and Mum and Dad are above you. Mark in brother, sister, uncle, nephew and as many other names of (kinds of) relatives that you know. It doesnt matter if you have no brothers or sisters or nephews as the diagram is meant to show the relationships and their names. If you have a friend who speaks a foreign language, ask them what words they use for these relationships. What is the name for the wife of a parents brother Do you use a different name for the sister of your parents In law these two are sometimes distinguished because one is a blood relative of yours and the other is not, just a relative through marriage. Which do you think is the blood relative and which the relation because of marriage How many parents does everyone have So how many grand-parents will you have to make spaces for in your Family tree Each of them also had two parents so how many great-grand-parents of yours will there be in your Tree . and how many great-great-grandparents What is the pattern in this series of numbers If you go back one generation to your parents, and two to your grand-parents, how many entries will there be 5 generations ago in your Tree and how many 10 generations agoThe Family Tree of humans involves a different sequence to the Fibonacci Numbers. What is this sequence called Looking at your answers to the previous question, your friend Dee Duckshun says to you: You have 2 parents. They each have two parents, so thats 4 grand-parents youve got. They also had two parents each making 8 great-grand-parents in total. . and 16 great-great-grand-parents. . und so weiter. So the farther back you go in your Family Tree the more people there are. It is the same for the Family Tree of everyone alive in the world today. It shows that the farther back in time we go, the more people there must have been. So it is a logical deduction that the population of the world must be getting smaller and smaller as time goes on Is there an error in Dees argument If so, what is it Ask your maths teacher or a parent if you are not sure of the answer 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Fibonacci numbers and the Golden Ratio If we take the ratio of two successive numbers in Fibonaccis series, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. ) and we divide each by the number before it, we will find the following series of numbers: It is easier to see what is happening if we plot the ratios on a graph: The ratio seems to be settling down to a particular value, which we call the golden ratio or the golden number . It has a value of approximately 1183618034 . although we shall find an even more accurate value on a later page this link opens a new window. You do the maths. What happens if we take the ratios the other way round i. e. we divide each number by the one following it: 11, 12, 23, 35, 58, 813. Use your calculator and perhaps plot a graph of these ratios and see if anything similar is happening compared with the graph above. Youll have spotted a fundamental property of this ratio when you find the limiting value of the new series 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. The golden ratio 1183618034 is also called the golden section or the golden mean or just the golden number . It is often represented by a Greek letter Phi . The closely related value which we write as phi with a small p is just the decimal part of Phi, namely 0183618034. Fibonacci Rectangles and Shell Spirals We can make another picture showing the Fibonacci numbers 1,1,2,3,5,8,13,21. if we start with two small squares of size 1 next to each other. On top of both of these draw a square of size 2 (11). We can now draw a new square - touching both a unit square and the latest square of side 2 - so having sides 3 units long and then another touching both the 2-square and the 3-square (which has sides of 5 units). We can continue adding squares around the picture, each new square having a side which is as long as the sum of the latest two squares sides . This set of rectangles whose sides are two successive Fibonacci numbers in length and which are composed of squares with sides which are Fibonacci numbers, we will call the Fibonacci Rectangles . Here is a spiral drawn in the squares, a quarter of a circle in each square. The spiral is not a true mathematical spiral (since it is made up of fragments which are parts of circles and does not go on getting smaller and smaller) but it is a good approximation to a kind of spiral that does appear often in nature. Such spirals are seen in the shape of shells of snails and sea shells and, as we see later, in the arrangement of seeds on flowering plants too. The spiral-in-the-squares makes a line from the centre of the spiral increase by a factor of the golden number in each square. So points on the spiral are 1.618 times as far from the centre after a quarter-turn. In a whole turn the points on a radius out from the centre are 1.618 4 6.854 times further out than when the curve last crossed the same radial line. Cundy and Rollett (Mathematical Models, second edition 1961, page 70) say that this spiral occurs in snail-shells and flower-heads referring to DArcy Thompsons On Growth and Form probably meaning chapter 6 The Equiangular Spiral. Here Thompson is talking about a class of spiral with a constant expansion factor along a central line and not just shells with a Phi expansion factor. Below are images of cross-sections of a Nautilus sea shell. They show the spiral curve of the shell and the internal chambers that the animal using it adds on as it grows. The chambers provide buoyancy in the water. Click on the picture to enlarge it in a new window. Draw a line from the centre out in any direction and find two places where the shell crosses it so that the shell spiral has gone round just once between them. The outer crossing point will be about 1.6 times as far from the centre as the next inner point on the line where the shell crosses it. This shows that the shell has grown by a factor of the golden ratio in one turn. On the poster shown here, this factor varies from 1.6 to 1.9 and may be due to the shell not being cut exactly along a central plane to produce the cross-section. Several organisations and companies have a logo based on this design, using the spiral of Fibonacci squares and sometime with the Nautilus shell superimposed. It is incorrect to say this is a Phi-spiral. Firstly the spiral is only an approximation as it is made up of separate and distinct quarter-circles secondly the (true) spiral increases by a factor Phi every quarter-turn so it is more correct to call it a Phi 4 spiral. Click on the logos to find out more about the organisations. Everest Community College Basingstoke Here are some more wonderful pictures from All Posters (which you can buy for your classroom or wall at home). Click on each to enlarge it in a new window. The same happens in many seed and flower heads in nature. The reason seems to be that this arrangement forms an optimal packing of the seeds so that, no matter how large the seed head, they are uniformly packed at any stage, all the seeds being the same size, no crowding in the centre and not too sparse at the edges. The spirals are patterns that the eye sees, curvier spirals appearing near the centre, flatter spirals (and more of them) appearing the farther out we go. So the number of spirals we see, in either direction, is different for larger flower heads than for small. On a large flower head, we see more spirals further out than we do near the centre. The numbers of spirals in each direction are (almost always) neighbouring Fibonacci numbers Click on these links for some more diagrams of 500. 1000 and 5000 seeds. Click on the image on the right for a Quicktime animation of 120 seeds appearing from a single central growing point. Each new seed is just phi (0183618) of a turn from the last one (or, equivalently, there are Phi (1183618) seeds per turn). The animation shows that, no matter how big the seed head gets, the seeds are always equally spaced. At all stages the Fibonacci Spirals can be seen. The same pattern shown by these dots (seeds) is followed if the dots then develop into leaves or branches or petals. Each dot only moves out directly from the central stem in a straight line. This process models what happens in nature when the growing tip produces seeds in a spiral fashion. The only active area is the growing tip - the seeds only get bigger once they have appeared. This animation was produced by Maple. If there are N seeds in one frame, then the newest seed appears nearest the central dot, at 0183618 of a turn from the angle at which the last appeared. A seed which is i frames old still keeps its original angle from the exact centre but will have moved out to a distance which is the square-root of i. Phyllotaxis. A Systemic Study in Plant Morphogenesis (Cambridge Studies in Mathematical Biology) by Roger V. Jean (400 pages, Cambridge University Press, 1994) has a good illustration on its cover - click on the books title link or this little picture of the cover and on the page that opens, click on picture of the front cover to see it. It clearly shows that the spirals the eye sees are different near the centre on a real sunflower seed head, with all the seeds the same size. Smith College (Northampton, Massachusetts, USA) has an excellent website. An Interactive Site for the Mathematical Study of Plant Pattern Formation which is well worth visiting. It also has a page of links to more resources. Note that you will not always find the Fibonacci numbers in the number of petals or spirals on seed heads etc. although they often come close to the Fibonacci numbers. You do the maths. Why not grow your own sunflower from seed . I was surprised how easy they are to grow when the one pictured above just appeared in a bowl of bulbs on my patio at home in the North of England. Perhaps it got there from a bird-seed mix I put out last year Bird-seed mix often has sunflower seeds in it, so you can pick a few out and put them in a pot. Sow them between April and June and keep them warm. Alternatively, there are now a dazzling array of colours and shapes of sunflowers to try. A good source for your seed is: Nickys Seeds who supplies the whole range of flower and vegetable seed including sunflower seed in the UK. Have a look at the online catalogue at Nickys Seeds where there are lots of pictures of each of the flowers. Which plants show Fibonacci spirals on their flowers Can you find an example of flowers with 5, 8, 13 or 21 petals Are there flowers shown with other numbers of petals which are not Fibonacci numbers 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Pine cones Pine cones show the Fibonacci Spirals clearly. Here is a picture of an ordinary pine cone seen from its base where the stalk connects it to the tree. Can you see the two sets of spirals How many are there in each set Here is another pine cone. It is not only smaller, but has a different spiral arrangement. Use the buttons to help count the number of spirals in each direction on this pine cone. The pattern continues with Fibonacci numbers in each column Leaf arrangements of some common plants One estimate is that 90 percent of all plants exhibit this pattern of leaves involving the Fibonacci numbers. Some common trees with their Fibonacci leaf arrangement numbers are: 12 elm, linden, lime, grasses 13 beech, hazel, grasses, blackberry 25 oak, cherry, apple, holly, plum, common groundsel 38 poplar, rose, pear, willow 513 pussy willow, almond where tn means each leaf is tn of a turn after the last leaf or that there is there are t turns for n leaves. Cactuss spines often show the same spirals as we have already seen on pine cones, petals and leaf arrangements, but they are much more clearly visible. Charles Dills has noted that the Fibonacci numbers occur in Bromeliads and his Home page has links to lots of pictures. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Vegetables and Fruit Here is a picture of an ordinary cauliflower. Note how it is almost a pentagon in outline. Looking carefully, you can see a centre point, where the florets are smallest. Look again, and you will see the florets are organised in spirals around this centre in both directions. How many spirals are there in each direction These buttons will show the spirals more clearly for you to count (lines are drawn between the florets): Romanesque BroccoliCauliflower (or Romanesco) looks and tastes like a cross between broccoli and cauliflower. Each floret is peaked and is an identical but smaller version of the whole thing and this makes the spirals easy to see. How many spirals are there in each direction These buttons will show the spirals more clearly for you to count (lines are drawn between the florets): Here are some investigations to discover the Fibonacci numbers for yourself in vegetables and fruit. You do the maths. Take a look at a cauliflower next time youre preparing one: First look at it: Count the number of florets in the spirals on your cauliflower. The number in one direction and in the other will be Fibonacci numbers, as weve seen here. Do you get the same numbers as in the picture Take a closer look at a single floret (break one off near the base of your cauliflower). It is a mini cauliflower with its own little florets all arranged in spirals around a centre. If you can, count the spirals in both directions. How many are there Then, when cutting off the florets, try this: start at the bottom and take off the largest floret, cutting it off parallel to the main stem. Find the next on up the stem. Itll be about 0183618 of a turn round (in one direction). Cut it off in the same way. Repeat, as far as you like and. Now look at the stem. Where the florets are rather like a pine cone or pineapple. The florets were arranged in spirals up the stem. Counting them again shows the Fibonacci numbers. Try the same thing for broccoli . Chinese leaves and lettuce are similar but there is no proper stem for the leaves. Instead, carefully take off the leaves, from the outermost first, noticing that they overlap and there is usually only one that is the outermost each time. You should be able to find some Fibonacci number connections. Look for the Fibonacci numbers in fruit. What about a banana . Count how many flat surfaces it is made from - is it 3 or perhaps 5 When youve peeled it, cut it in half (as if breaking it in half, not lengthwise) and look again. Surprise Theres a Fibonacci number. What about an apple . Instead of cutting it from the stalk to the opposite end (where the flower was), i. e. from North pole to South pole, try cutting it along the Equator. Surprise theres your Fibonacci number Try a Sharon fruit. Where else can you find the Fibonacci numbers in fruit and vegetables Why not email me with your results and the best ones will be put on the Web here (or linked to your own web page). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Fibonacci Fingers Look at your own hand: You have. 2 hands each of which has. 5 fingers, each of which has. 3 parts separated by. 2 knuckles Is this just a coincidence or not. However, if you measure the lengths of the bones in your finger (best seen by slightly bending the finger) does it look as if the ratio of the longest bone in a finger to the middle bone is Phi What about the ratio of the middle bone to the shortest bone (at the end of the finger) - Phi again Can you find any ratios in the lengths of the fingers that looks like Phi ---or does it look as if it could be any other similar ratio also Why not measure your friends hands and gather some statistics NOTE: When this page was first created (back in 1996) this was meant as a joke and as something to investigate to show that Phi, a precise ratio of 1.6180339. is not the Answer to Life The Universe and Everything -- since we all know the answer to that is 42 . The idea of the lengths of finger parts being in phi ratios was posed in 1973 but two later articles investigating this both show this is false. Although the Fibonacci numbers are mentioned in the title of an article in 2003, it is actually about the golden section ratios of bone lengths in the human hand, showing that in 100 hand x-rays only 1 in 12 could reasonably be supposed to have golden section bone-length ratios. Research by two British doctors in 2002 looks at lengths of fingers from their rotation points in almost 200 hands and again fails to find to find phi (the actual ratios found were 1:1 or 1:1.3). On the adaptability of mans hand J W Littler, The Hand vol 5 (1973) pages 187-191. The Fibonacci Sequence: Relationship to the Human Hand Andrew E Park, John J Fernandez, Karl Schmedders and Mark S Cohen Journal of Hand Surgery vol 28 (2003) pages 157-160. Radiographic assessment of the relative lengths of the bones of the fingers of the human hand by R. Hamilton and R. A. Dunsmuir Journal of Hand Surgery vol 27B (British and European Volume, 2002) pages 546-548 with thanks to Gregory OGrady of New Zealand for these references and the information in this note. Similarly, if you find the numbers 1, 2, 3 and 5 occurring somewhere it does not always means the Fibonacci numbers are there (although they could be). Richard Guys excellent and readable article on how and why people draw wrong conclusions from inadequate data is well worth looking at: The Strong Law of Small Numbers Richard K Guy in The American Mathematical Monthly . Vol 95, 1988, pages 697-712. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Always Fibonacci But is it always the Fibonacci numbers that appear in plants I remember as a child looking in a field of clover for the elusive 4-leaved clover -- and finding one. Fibonacci Spiral Fibonacci spirals provide the optimal link between price and time analysis and are the answer to a long search for a solution to forecasting both time and price. Each point on a spiral manifests an optimal combination of price and time. Corrections and trend changes occur at all those prominent points where the Fibonacci spiral is touched on its growth path through price and time. You will be astonished to see that if the correct center is chosen, Fibonacci spirals pinpoint turning points in the market with an accuracy seldom before seen. Investing based on spirals is neither a black-box approach nor an overfitted computerized trading system. It is a simple universal geometrical law applied to different sorts of products such as futures, stock index futures, stocks or cash currencies. The Fibonacci spiral is one of the many Fibonacci Studies for analyzing markets in terms of support and resistence levels for the price of a given asset. Unlike several of the other Fibonacci studies, the exact methods for calculating Fibonacci spirals are kept as something of a secret. The basic idea behind the Fibonacci spiral is that a certain extreme point on a market chart is taken to be the center of the spiral, and then a Fibonacci spiral based on the golden ratio is drawn emanating out from that center. Certain points along the spiral are then considered to be strong indicators of market events, such as babypipsschoolreversalpatterns. html reversals, price spikes or high levels of resistance or support. The Advocates often tout the Fibonacci spiral as an extremely accurate method of predicting the behavior of a market based on both critical times and critical price levels, rather than simply on price levels. Several pieces of software exist for calculating Fibonacci spirals on a computerized chart. The secret nature of the calculations, however, makes it difficult for a prospective Fibonacci trader to assess the actual efficacy of the device. In general, Fibonacci spirals are generated by picking a starting point and then increasing the width of points along the spiral from the center by multiplying the width by a Fibonacci ratio for every quarter turn. In markets, this Fibonacci ratio would likely be determined by certain price levels within the market. Kategorie anzeigen
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